Kladivova observatoř

Před nedávnem jsem měl možnost zúčastnit se malé exkurse na Kladivovovu observatoř. Prof. Kladivo byl první brněnský astronom a geodet. Učil dokonce i na přírodovědecké fakultě (jako první) astronomii. Podařilo se mu zjistit hodnotu místního gravitačního zrychlení na asi 7 míst. V současné době je v kopuli observatoře „jen“ GPS stanice.

Fantomovi (asi s Kočku) se podařilo pořidit fotodokumentaci kterou jsem vyvěsil do galerie. Observatoř je ve výšce asi 35m nad zemí a skoro i nad Brnem. Přístup na ni je po točitém schodišti, které můžete spatřit mezi prvními snímky. Poté se dostáváme k historickému pasážníku. Údajně je ukotven na nosné zdi a ještě po válce se s ním zaměřovala poloha. Pravděpodobně je to i poloha IAU stanice 616. Po vystoupení z budovy na terasu jsme se dostali ke kopulce samotné observatoře, která je vidět i z okolních ulic. Snímky odhalí víc včetně současného přístrojového vybavení. Asi je částečně modernizovaná, ale pozorovat se v ní tedy rozhodně nedá. Snímky zachycují i okolí. Takže se dá snadno identifikovat charakteristická architektura nad Tivoli. Z odborného výkladu jsme se dozvěděli podrobnosti o pohybu kontinentálních desek a s jakou úžasnou přesností se dá jejich pohyb v současné době měřit. Zdá se mě, že geodeti jsou stejní blázni jako my.

Nebezpečné zvíře

Už jistě víte, jaké je nejnebezpečnější africké zvíře. A my jsme se o tom přesvědčili, Portrét takového zvířete mluví sám za sebe. Naštěstí tento exemplář již vypadá, že nikomu neublíží, neboť z té zdi už nikam neodejde. Ale posuďte sami, nepouští hrůzu větší, než byste čekali???

Když člověk chodí hlavou dolů...

... může u toho zažívat jediněčné pohledy na noční oblohu nebo na observatoře na horizuntu And, jak nám před nedávnem ukázal fantom.

... může také nevidět Magallenova oblaka a nevidět jižní kříž a přitom je hledat téměř každou noc. Když se ale Santiago rozsvítí, je na obloze ke spatření jen pár hvězd. Přes den je toho však ke koukání kolem dokola mnoho, až z toho člověku chodí hlava dolů.

pohled na Santiago z Cerro San Cristóbal (863 m.n.m.)

Co ruší na La Silla

Byl pozdní večer a já se chtěl trochu lépe zorientovat ve Střelci a objektech, které je dobré si vychutnat na tmavé obloze. Jenže ouha – Střelec byl nevysoko nad západním obzorem, kde docela výrazně rušilo zodiakální světlo. Tak jsem to aspoň cvaknul, a leccos jsem na tom výsledném snímku našel. A jen tak mimochodem, lítaly a nejenom leonidy.

Na poušti

Ocitl jsem se na poušti. Je tu sucho, a i když pořád piju, nedaří se mi uhasit žízeň. A jakto, že se s vámi můžu dělit o své zážitky a fotky? Protože tahle poušť není tak úplně pustá. Nachází se zde totiž astronomický ráj, oáza, kde místo palem vyrostly svého času největší a nejmodernější observatoře. Obloha je tu k nepopsání, už proto, že se na ní teprve učím orientovat. Nicméně to, na co se většina pozorovatelů ze severu těší, tu skutečně je – Magellanova oblaka se nedají přehlédnout, nad ránem vychází Jižní kříž a naše známá souhvězdí jsou vzhůru nohama. Navíc tu co chvíli přelétne meťas a semtam zahlédnete i slabší bolid. O jasné noci tu opravdu není nouze, jenom tu docela často přechází cirry. Tak už víte, kam se fantom zatoulal? Pokud ne, snad vám to prozradí následující fotka. Buenos días.

Vitalij Lazarevič Ginzburg (1916 - 2009)

8. listopadu 2009 zemřel po dlouhé těžké nemoci ve věku 94 let známý teoretický astrofyzik V.L.Ginzburg. Pracoval v různých oblastech teoretické astro-fyziky: fyzika nízkých teplot, krystalooptika, fyzika plazmy, Čerenkovovské záření a mnohých dalších. Byl mezinárodně známý a uznávaný. V roce 1995 získal Volfovu cenu za vklad do teorie supravodivosti a supratekutosti. V roce 1962 založil společně se Zeldovičem a Šklovským seminář, který byl hlavním diskusním astronomickým fórem v Sovětském Rusku.

Pro astronomii je zajímavý svými pionýrskými pracemi týkajícími se synchrotronového záření a vysokoenergetických kosmických paprsků.

Moje osobní vzpomínka souvisí s knihou "Teoretická astrofyzika" ve které se zabýva plazmou, magentickými poli a aplikací metod pevných látek na astrofyzku a s tím související Čerenkovovské záření. Já obdivuju jasné a prosté vysvětlení nadsvětelných pohybů.

Tato zpráva je volným překladem smutečního oznámení ze stránek Šternbergova astronomického institutu v Moskvě.

Důležité je použít správnou metodu ...

A co vy? Taky používáte při studiu center galaxií Fotošop? Nebo raději GIMP? A Jan Tleskač?

Rovnonocí

V úterý večer jste si mohli všichni užít kouzlo podzimní rovnodennosti na naší domovské planetě, ale v období kolem rovnodennosti se nalézají také dvě největší planety sluneční soustavy, Jupiter a Saturn. To s sebou přináší některé jevy, které by mohly být zajímavé pro pozorovatele. Jedním z nich jsou vzájemné zákryty a zatmění měsíců Jupitera, které se dají (při troše štěstí) pozorovat i vizuálně.

Pokud ale máte k dispozici menší dalekohled s bystrým elektronickým okem (a to my máme), můžete takovým pozorováním přispět k rozvoji znalostí dynamiky Jupiterovy soustavy. Nejbližší příležitost nastává už tuto sobotu, jak lze ověřit na stránce s předpovědmi. Pro Brno stačí zadat MPC kód observatoře 616. Kdybyste toužili po vyčerpávajícím zdroji informací (ano, je to vyčerpávající), naleznete ho na stránkách Institut de Mécanique Céléste et de Calcul des Ephémérides.

Vyhlašuji tedy nikoliv call for proposals, ale call for observers na sobotní večer, najde se někdo?

Všechno je špatně!

Mysleli jste si, že můžete věřit tomu, co nás naučili ve škole? Měli jste pocit, že experimentálně potvrzené teorie jsou prostě pravdivé? ... a ono houby. Na jisté konferenci v Krakowě jsme se dozvěděli, že už Einstein se hrozně zmýlil a jediným skutečným géniem je Minkovski. A hlavně jsme byli prostě první kdo viděli návrh řešení kvantové gravitace. No prostě kdo nevěří, nechť se přesvědčí přímo tady. Je to prostě perla moderní fyziky...

Ako fitnúť správny fit ?

Stalo sa vám niekedy, že ste cez fakt divoké data potrebovali preložiť ten najlepší fit, ale darilo sa vám prekladať len kandidátov na tie najhoršie fity?

ak áno tu je pomoc :

http://zunzun.com/

doporučujem ;-) a verím že vám to ušetrí kopu času

Čaje u Hrocha neboli galaxytea 09/10

Nie všetky hrochy či Hrochy su nebezpečné, čo tak teda raz za týždeň navariť čaj a dať reč nielen o vede, toto leto vela z nás navštivilo rôzne kúty sveta, takže vzájomna výmena žážitkov a fotiek (či spór rôznych mutácií prasacej chripky, keď sa to už šíri vzduchom) by prišla vhod. ;-) už sa zverejnuje rozvrh taaaak navrhujte daky termín, miesto je myslim jasne.

Pozdrav z daleka

Všichni sem posílají hory a observatoře a jsou tak nějak k věci, ale někteří lezeme po horách, co nejsou nijak proslavené nebo známé a prázdniny trávíme ve městě, kde je 10 měsíců v roce mlha, takže by tu observatoř neměla smysl (zcela vážně, slunná Kalifornie není úplně pravdivé přirovnání). Takže abych vybočila z řady, posílám pozdravy ze zámoří všem brněnským astrofyzikům... a přikládám fotku mostu (ok takhle slunečno tu je tak jednou do týdne). Užijte ten kratičký zbytek prázdnin a nashle v Brně...

Písnička o tom, kterak asi 20 hrochů dovádí na stole s šálkem čaje a galvanickou baterií

Věděli jste, že hroch je jedno z nejnebezpeč­nějších zvířat? A přesto se najdou lidé, pro které se hroch stane předmětem (jakési nevinné) touhy – předmětem sběratelské vášně. Co je to sběratelství? Jako by to byla prázdná forma touhy naplnitelná jakýmkoli obsahem, postupující však zcela nekompromisním a nanejvýš organizovaným způsobem (odtud vede cesta ke geometrii). Stejně jako veškerá touha ani sběratelská vášeň nemůže být nikdy naplněna nebo završena (jedním z nejhororovějších příkladů sběratelství je sbírání artefaktů vztahujících se k lidem, např. k the Beatles (Brouci: úspěšná britská kapela z šedesátých let minulého století)). Zdá se mi, že jsou dva kořeny sběratelství: potřeba vlastnit (v podstatě dětská úchylka přetrvávající u některých jedinců do dospělosti) a potřeba systematizovat (chorobná racionalita usmrcující, pojmenovávací, štítkovací, třídící, škatulkující, krabičkující a především vystavující vzorky). Co je na sběratelství strašidelné, je nejenom to, že nějakou jeho formou trpíme všichni (někdo dokonce sbírá brouky), ale i že jsme vlastně sami předmětem podobného pojmenovávání a třídění, od rodných čísel a abecedního rozsazování do tříd a lavic po genderové role a volební statistiky. Takže příště až si koupíte dva hrnky stejné barvy, zamyslete se nad tím, jaké by to bylo probudit se jako brouk v krabičce.
Každopádně noční můra všech psychoanalytiků je sen, který nic neznamená.

Přejato z http://www.horrors.eggnoise.cz/horory.php?id=8

Na velkosti záleží

Na svete sú čarovné miesta a sú miesta, kde sa môžete dotknúť hviezd. V Californií je takýchto miest viac. Jedno má špecialnu chuť kvôli histórií, iné preto ako vyzerá. Keby som si mal vybrať, ktoré miesto je tu najkrajšie bude to toto na obrázku. Enjoy Mount Palomar priatelia ;) Nikdy som nevidel takto tmavú oblohu! Nehovoriac o tom kukeri čo tu je! Ked bude trošku viac času rozpišem sa viac.

1554 > 1602 ?

1602 může někdy být hodně a jindy zase málo. Ale i kdyby jste se rozkrájeli na 1602 kousků, výše než na 1602 to u nás prostě nedotáhnete. Jak ale dokládá následující obrázek, mohou přesto nastat situace, kdy je 1602 metrů níže než 1554.


Prohlédněte si obrázek, řekněte si anglicky abecedu pozpátku od Z až do A, prohlédněte si obrázek znovu, počkejte 10 vteřin a čtěte dál.

Ze Sněžky můžete spatřit její stín na svahu Studniční hory jen velmi brzy po východu pulce. Počasí nám přálo a 9. srpna v 5:32 nás ohřály první sluneční paprsky právě na Sněžce. Zažili jsme tak kouzla a barvy, které umí jen ranní světlo v horách. Někdy opravdu stojí za to si přivstat.

Měsíc v novu v Zemi středu

Když už člověk jednou je, tak má koukat, aby byl na tom správném místě ve správný čas. A když už je na správném místě ve správný čas, tak má koukat — má koukat na Měsíc v novu, protože to může být zážitek na celý život. S Milkou jsme byli na správném místě 22. července a viděli jsme To. Správné místo bylo tentokrát na břehu malé zátoky slavného Západního jezera ve městě Hangzhou, opravdu daleko na východ od české kotliny. Podmínky zdaleka nebyly ideální, fázi požírání Slunce drakem jsme sledovali jen krátkými dírami v mracích, ale před úplnou fází jako zázrakem nízké mraky odpluly a my užasle sledovali báječné představení. Dostalo mě to, a když jsem se tak díval na ten nebeský milostný akt, na to pětiminutové objetí a magické spojení noci a dne, bleskla mi hlavou jedna věc — že to borci, kteří žerou nebeskou mechaniku, zase jednou dobře spočítali. Když trochu prodloužím tok téhle myšlenky, napadá mě provokativní otázka: jakpak jste na tom vy, taky byste to dali?
Snad se nenajde nikdo, kdo by autenticitu našeho zážitku zpochybňoval, ale pro jistotu přikládám jednu fotku. No řekněte sami, vypadají snad takhle lidé, kteří to úžasné představení neviděli?

Profily komet

Venku zuří prázdniny, nicméně teprve teď jsem se dostal k zhodnocení zajímavé bakalářky. Stvořil ji tajemný BH a týká se plošné fotometrie komet. Na celé práci je asi nejzajímavější, že pozorovaný fotometrický profil komety se, alespoň v některých částech, dost blíží profilu eliptické galaxie, a dá se tedy přibližně popsat de Vacoulerovým zákonem (nebo jeho zobecněnou verzí s jiným sklonem).

Je to dost zajímavé, protože v případě komet profil vzniká jinak. Jak se můžeme dočíst v článku Jewitt & Meech (1987), který našla Janis, předpokládá se, že profil u komet vzniká díky neustálé produkci částic v centru a ty pak izotropně odlétají do prostoru. Jejich počet se tak ředí směrem dál od centra podle rovnice kontinuty (ve sférickém případě)

ϱ^. + (ϱ r² v)'/r² = 0.

(Omluvte nízkou kvalitu matematiky). Je-li rychlost částic zhruba konstatní a nemění se s časem, pak hustota klesá se druhou mocninou vzdálenosti. Pokud se částice v řídkém prosřední komy nijak nezacloňují (opticky tenké prostředí), výsledný průmět počtu částic (z hustoty) do našeho směru dává přímku v log(mag)-log grafu. Ty se zhruba u komet taky pozorují.

Nicméně, galaxie maji profily vzniklé jinak a tak je skutečně zajímavé, že výsledek je tak moc podobný. Myslím, že by mohlo jít o důsledek právě rovnice kontinutity, která pochopitelně musí platit i u galaxií.

BH jako jeden ze studovaných objetů použil 17P/Holmes. Zajímavý článek o jejím výbuchu vydal náš krajan Zdeněk Sekanina v ICQ: Sekanina (2009). Nebudu odhalovat pointu, jen podotknu, že v článku je uveden model světelné křivky během výbuchu, který popisuje jeho průběh a dokazuje, že hlavnímu zjasnení předcházelo takové menší. V ICQ se dají najít i další zajímavé články o Holmesce.

Kamarád se na mě obrátil s prosbou o pomoc ...

... a protože na jeho problém se svou notně proděravělou středoškolskou fyzikou nestačím, chtěl bych se zeptat vás, zda byste si s tím nevěděli rady. Zadání zní: Určete množství vody (např. v kg), která se odpaří z jímky o rozměrech A x B x C za čas t. Zřejmě to bude ještě záviset na tlaku vzduchu, teplotě vody a vzduchu a na vlhkosti. Další faktory přidejte dle chuti. :) Nevíte někdo, co s tím?

Na velikosti (asi) záleží

Tento blog se z velké části věnuje astronomii a astrofyzice. Ani já neudělám výjimku, jak je ostatně patrné z nadpisu. Určení vzdálenosti blízkozemní planetky pomocí paralaxy už tady bylo dříve. Navrhoval jsem tehdy použít přesnější metodu, a protože doba uzrála a čas se navršil, konečně jsme ji mohli vyzkoušet.

Pozorovali jsme 3. dubna opět šedesátkami na MonteBoo v Brně a v Ondřejově a to blízkozemní planetku 2008 SV11. Tentokrát nevznikly efektní obrázky, které ukazují dvě stopy po asteroidu jako minule. Místo toho jsme se snažili udržet asteroid bodový, abychom mohli udělat přesnou astrometrii. Druhou podstatnou věcí byla co nejlepší časová synchronizace začátku expozice snímku. S Petrem Kušnirákem jsme si proto vyměnili nemálo emajlů, až se nám podařilo pořídit sérii snímků, ze kterých jsem potom vybral několik časově nejbližších — odpálili jsme je v rozmezí menším než 0,1 s.

Zpracování byl běh na středně dlouhou trať s překážkami. Většinu jsem úspěšně přeskočil, o některé jsem zavadil kotníkem a pak přišla ta Taxisova (na kterou mě upozornil mazaný Hroch, díky). Ačkoliv neumím skočit do dálky osm metrů, podařilo se mi i tuto nástrahu zdolat. Spočívala v určení základny pro výpočet paralaxy a následně vzdálenosti planetky. Základna totiž není obecně rovna vzdálenosti dvou pozorovacích míst na Zemi (pro nás Brno—Ondřejov). Platilo by to jen pro objekt, pozorovaný v zenitu z míst, která jsou od obou stanovišť stejně vzdálena.

Obecně je potřeba velikost základny spočítat ze známých zeměpisných souřadnic observatoří a rovníkových souřadnic planetky. Do hry vstupuje také fakt, že pro vzdálenější stanice musíme uvažovat jejich přímou vzdálenost skrz Zemi a nikoliv po jejím povrchu. Celá věc je poměrně jednoduchá, ale trochu zlouhavá, takže se zde o ní nebudu podrobně rozepisovat a přejdu rovnou k výsledkům.

V pořízené sérii snímků jsem našel čtyři s velmi blízkým začátekem expozice. Když jsem udělal astrometrii, určil paralaxu a spočetl pro každou polohu velikost základny, dostal jsem následující hodnoty vzdálenosti planetky.

---

 π['']*r[LD]*dle HOR.[LD]*rozdíl[LD]*Δt snímků[s]*rel. chyba

---

   3,2   21,3   20,41   0,89   0,076   0,04
   3,0   22,7   20,43   2,27  -0,094   0,10
   4,2   16,6   20,44  -3,84   0,023   0,23
   4,2   16,6   20,46  -3,86   0,079   0,23

---

π označuje změřenou paralaxu ve vteřinách, r vzdálenost vypočtenou z paralaxy, dle HOR. je vzdálenost podle HORIZONS, dále jejich rozdíl, Δt snímků je časový odstup snímků v sekundách, a pak už jen relativní chyba; vzdálenosti jsou uvedeny v LD = Lunar distance, střední vzdálenost Země—Měsíc

Výsledky nejsou příliš uspokojivé, čekal jsem trochu přesnější hodnoty s menším rozptylem. Hlavní chybu do výsledku zanáší astrometrie, jejíž vnitřní chyba je na úrovni několika málo desetin obloukové vteřiny. Přesto hodnoty paralaxy nepříjemně poskakují a já si zatím marně lámu hlavu nad příčinou.

Možná by bylo rozumnější udělat astrometrii pro každý snímek zvlášť a neulehčovat si práci jejich složením, třeba jen špatně počítám. Možná se jedna z observatoří (nebo obě) nachází v geopatogenní zóně nebo… na velikosti záleží a měl bych pozorovat z mnohem vzdálenějších míst; snad by mi poradil Jan Tleskač? Anebo někdo z vás?

Bajka (nejen) pro PhD. studenty

Rabbit's Ph.D. Thesis

A Parable for Graduate Students

Scene: It's a fine sunny day in the forest, and a rabbit is sitting outside his burrow, tippy-tapping on his typewriter. Along comes a fox, out for a walk.

Fox: "What are you working on?"
Rabbit: "My thesis."
Fox: "Hmmm. What's it about?"
Rabbit: "Oh, I'm writing about how rabbits eat foxes."
(incredulous pause)
Fox: "That's ridiculous! Any fool knows that rabbits don't eat foxes."
Rabbit: "Sure they do, and I can prove it. Come with me."

They both disappear into the rabbit's burrow. After a few minutes, the rabbit returns, alone, to his typewriter and resumes typing. Soon, a wolf comes along and stops to watch the hardworking rabbit.

Wolf: "What's that you're writing?"
Rabbit: "I'm doing a thesis on how rabbits eat wolves."
(loud guffaws)
Wolf: "You don't expect to get such rubbish published, do you?"
Rabbit: "No problem. Do you want to see why?"

The rabbit and the wolf go into the burrow, and again the rabbit returns by himself, after a few minutes, and goes back to typing.

Scene: Inside the rabbit's burrow. In one corner, there is a pile of fox bones. In another corner, a pile of wolf bones. On the other side of the room, a huge lion is belching and picking his teeth.

(The End)

Moral:
It doesn't matter what you choose for a thesis subject.
It doesn't matter what you use for data.
What does matter is who you have for a thesis advisor.

Tak nám odbili hvězdný čas

Je to tak. Do minulého týdne jsem žil v domění, že heliocentrické ekliptikální souřadnice mají počátek ve Slunci, Jarní bod je ve směru osy x a hvězný čas se počítá mezi poledníkem a Jarním bodem. Bohužel, takhle to bylo někdy za mého mládí, ale teď už je to jinak.

Někdy kolem roku 2000 přijala IAU několik rezolucí, ve kterých definovala nový souřadný systém. Jmenuje se ICRS (International Celestial Reference System). Počátek má v barycentru (těžišti) sluneční soustavy, x míří do bodu daného přesně z rádiových pozorování vzdálených kvasarů, je relativisticky přesný až do 4-tého řádum, atd atd. Hvězdný čas je de-facto zrušen a místo něj teď používáme úhel otočení Země (Earth Rotation Angle).

Doporučuju prostudovat:

• The International Celestial Reference Frame (ICRF), FAQ
• The International Celestial Reference Frame
• Wiki
  
• par prográmků

Pokud nestudujete přesnou rotaci Země nebo podobně věci s extremní přesností, pak se pro vás nic nemění. Definice veličin je jiná (aby se to nepletlo), ale čísla vychází stejně. Nicméně s ICRF je nesmyslné počítat různé korekce na ekvinokcia. Po staru řečeno, ICRF je zhruba totožný s J2000.0 ale už se nikdy nezmění.

Jediné co mě překvapuje je, že se ke mě tato informace dostala zhruba s desetiletým zpožděním... a nejen ke mě.

Třicetiny FITSu

Na letošní 28. březen připadají třicáte narozeniny FITS formátu používaného v astronomii na flexibilní přenos dat. Děkujeme za možnosti, které nám nabízí a přejeme hodne úspěchů, zdraví a životní vitality do dalších let. Ať je tu s námi minimálně dalších třicet let.

Díky.

Budeme zase vařit?

Minulý semestr nám to moc nevyšlo, ale zase by jsme mohli začít vařit galaktické čaje. Takže obligátní otázka. Kdy se vám to hodí?

Ja vím, že nemám čas v pondělí, hodinu po semináři a pak ve středu od sedmi večer kvuli praktiku. Jinak budu mít čas pořád. Připomínám, že slušní lidé nechodí na společenské návštěvy před polednem.

Planetární fenomény

Dneska mě napadlo, že by bylo zajímavé vědět, jak by se dal s větší přesností než asi vteřinka vypočítat přesný hvězdný čas. Ukazuje se, že je to složitější než by se dalo čekat. Především je pro velkou přesnost potřeba počítat všechny možné precesní a nutační pohyby všeho možného.

Algoritmy na přesné polohy planet ale nerostou na stromech. Z hlavy jsme znal scripta nebo přírůčku od Z. Pokorného Astronomické algoritmy pro kalkulátory, což byla první literatura se kterou jsem na tohle téma přišel do styku. Všude ja na ní ovšem vidět inspirace v J. Meeusových Astronomických algoritmech. Včetně teorie a pohybu planet a Měsíce. Zdálo se mě ale přece jen mírně zastaralé použít přibližně 30 let staré rozvoje a navíc je tam ručně naklepat.

Po chvilku jsem našel programek, který jsem už používal před 15 lety a jmenuje se aa. Má v debianu balíček a zdá se, že autor S. Moshier se v fakt v počítání planet vyzná. Dá se stahnout včetně zdrojových kódů a dokonce s nějakými autorovými vylepšeními oproti standarním teoriím pohybu planet.

Ty jsou v současné době uznávané dvě: VSOP82 a VSOP87. V článku o druhé teorii jsou pravděpodobně asi dnes nejznámější semi-analytické aproximace poloh planet co známe.

Skutečně brutální přesnosti se ale dá dosahnout prostřednictvím interpolace v tabulkách jež vznikly numerickou integraci v JPL označovaných jako DE-04xx. Pokud chcete přesněji počítat polohy planet (nebo i méně přesně) doporučuju prostudovat odkazovanou stránku efemerid v Horizontu.

Tmave miesto pri Lančov (Znojmo)

Vylet za tmavym miestom, dostali sme sa kusok za mestecko Lančov pri Znojme. Fotka +/- ukazuje obzor, teda len E - S - W.





View Larger Map

Penroseov trojuholnik

Nehnevajte sa ze sem postujem taketo veci ale toto stoji za to: